三角比と四面体体積：必見！数学の理解を深めるステップバイステップガイド

プロフィール

・地方の公立進学校から高校３年間塾に通わず、1浪を経て京大医学部に合格。（歩兵について詳しくはこちら）

・塾や家庭教師における指導数は10を超え、医学部や国公立合格を多数輩出。

・現役医学生ながら「本質的な学び」や「誰にでも再現可能な勉強法」についてブログで発信中。

生徒

先生！四面体の体積の求め方がわかりません泣

歩兵

正弦定理と三平方の定理を使えば簡単にとけるので、頑張りましょう！

三角比とは何か？基礎から理解する

三角比の基礎概念

三角比とは、直角三角形において隣接辺と斜辺、または対辺と斜辺の比率を指すものです。主にsin（サイン）、cos（コサイン）、tan（タンジェント）の三つがあります。三角比は幾何学、三角法、そして多くの応用数学や科学の基礎となっています。直角三角形の一つの角度と隣接する辺に注目すれば、その角度に特有の比率が存在するのです。この比率が数学的な公式や計算に使われます。

正弦定理を理解する

四面体の体積を求めるうえで、当然四面体の高さを求める必要があります。その時に、底面の外接円の半径を求めなければいけないので、正弦定理を理解しなければいけません。

三角比と四面体体積：求め方

初めに前提として、すべての四面体の体積を求めることができるわけではありません。頂点から底面からの垂線が、底面の外心を通る必要があります。

今回は、特に正四面体についてみていきましょう。

生徒

何か小難しくてわかりにくいなあ

歩兵

では、1ステップずつかみ砕いて説明しましょう！

体積の公式

まず初めに、体積の公式を改めて確認しましょう。

つまり、底面積と高ささえわかれば体積を求めることができます。

底面積

よって、\(\triangle\)のBCDの面積は、

垂線の足と外心の一致

外接円の半径

高さの導出

三角比と四面体体積：実際の解答

この問題の答えは覚えておくと計算が楽になります！例えば、長さ２の正四面体の体積を求めるとき、いちいちこのような計算をしなくても、aに２を代入して、と求めることができます。

生徒

え、この答えを覚えておけば、とても楽じゃないですか？？

歩兵

でも、考え方を理解せずに答えだけ覚えても本末転倒だから注意してね

生徒

はい！テクニックの一つとして覚えておきます！

ちなみに１辺aの正三角形の面積は、です！これも覚えておくと計算が楽になりますよ

三角比と四面体体積：まとめ

今回の記事はいかがでしたか？最後までご覧いただきありがとうございます。