みなさん。こんにちは！歩兵ブログです。今回も大学受験生に役立つ数学の記事を投稿したいと思います。
プロフィール
・地方の公立進学校から高校３年間塾に通わず、1浪を経て京大医学部に合格。（歩兵について詳しくはこちら）
・塾や家庭教師における指導数は10を超え、医学部や国公立合格を多数輩出。
・現役医学生ながら「本質的な学び」や「誰にでも再現可能な勉強法」についてブログで発信中。
先生！じゃんけんの問題がわかりません泣
また確率ですか笑
はい…
仕方ないですね笑では、やっていきましょう！
目次
じゃんけんの勝負がつく問題の考え方について
じゃんけん確率問題の概要
今回取り扱うのは、「A、Bさんがじゃんけんをして、5回目で初めてAさんが先に3勝する確率は？」といった問題です。ここでは、反復試行の重要事項とグーチョキパーが等しく３分の１の確率で出されるということが非常に重要になってきます。
反復試行について
はじめに反復試行の確率の求め方について学習しましょう。
反復試行
1回の事象において、事象Aが起こる確率をp、事象Ｂが起こる確率を(1-p)とする。また、１回の試行においてＡ，Ｂのいずれかのみが起こるとする。
その時、ｎ回の試行において、Ａがｋ回、Ｂが（ｎ－ｋ）回起こる確率は、
$${{}_nC_r}\times{p^k}\times{(1-p)^(n-k)}$$
これは、事象が３つ以上になっても同じように考えることができます。
じゃんけんにおいて、あいこの場合分けはしなくて良いの？
じゃんけんの問題で、重要なポイントの一つにあいこがあります。もし、あいこが起きてしまうと、その試行では誰の勝ち数も増えず、非常にややこしいことになります。そのような条件が入ると一気に難解になることがあります。
しかし、ご安心ください。後ほど、解説しますが、今回の問題の条件ではそこまで複雑にはなりません！また、易しい問題では「あいこは考えなくて良いものとする」といった注釈が書いてあることもあります。問題文をしっかりと読みましょう。
反復試行か、、確か習ったような気がするなぁ
この反復試行が、じゃんけん確率問題で、非常に重要なんですよ！
でも、反復試行とじゃんけんどんな関係があるんだろう、、？
じゃんけんの勝負がつく問題の解き方
言葉で原理を説明するより、実際の問題で説明した方が楽だと思うので、例題を１つ提示します。
例題
A、Bさんがじゃんけんをする。先に3勝した方を優勝とし、優勝した場合ゲームは終了する。この時、Aさんが5回目にちょうど優勝する確率を求めよ。ただし、あいこは起こらないものとする。
じゃんけんで勝負がつく問題で陥りやすい間違い
この例題で間違いやすい解答があります。それがこちらです。
誤答
５回の試行の中で、Aさんが3勝し、Bさんが2勝すればよい。
１回の試行で、Aさんが勝利する確率は、\(\frac{1}{2}\)。また、Ｂさんが勝利する確率は、\(\frac{1}{2}\)。
よって、反復試行の公式から求める確率は、\({{}_5C_3}\times{(\frac{1}{2})^3}\times{(\frac{1}{2})^2}=\frac{5}{16}\)
この間違いはほんとによく起こります。では、この問題のどこがいけないのでしょうか。この考え方では、１～３回目がＡさんの勝ち、４，５回目がＢさんの勝ちといった場合も含まれてしまいます。
しかし、この場合ではＡさんは3回目に優勝してしまい、ちょうど5回目に優勝するという条件に合いません。よって、条件に合わない場合も含まれているということになります。
え～この考え方はダメなのか……
正しい考え方
では、正解にたどり着くにはどのような考え方をすればいいのでしょうか。はじめに、Aさんが5回目に優勝するということは、Aさんは4回目までにちょうど2勝しなければいけません。０または１勝では、5回目に3勝目をあげることはできませんし、3勝以上では4回目までに優勝してしまいます。
また、今回はあいこがないことを含めると、Ａさんの4回目までの成績は2勝2敗です。そのうえで、5回目にＡさんが勝たなければいけません。
正しい解答
正答
Aさんが5回目にちょうど優勝するので、Aさんは4回目までは2勝2敗で、5回目に勝利すれば良い。
Aさんが4回目まで2勝2敗である確率は、反復試行の考え方から、\({{}_4C_2}\times{(\frac{1}{2})^2}\times{(\frac{1}{2})^2}=\frac{3}{8}\)。
また、5回目にAさんが勝利する確率は、\(\frac{1}{2}\)。
よって、求める確率は、\({\frac{3}{8}}\times{\frac{1}{2}}=\frac{3}{16}\)
じゃんけんで勝負がつく問題のまとめ＆補足
まとめ
今回解説したじゃんけん確率の考え方は理解できたかい？？
はい！単純に反復試行で考えるのではなく、1回前までを反復試行で考えて最後合わせれば良いんですね！
ポイント
・反復試行の確率の基本事項理解
・全部で計算するのではなく、１回前と区切って考える
補足事項：あいこが入った場合
今回の問題では、あいこが加わってもそこまで大変ではありません。それぞれが何勝するかに照準を当てているので、あいこと負けをひとくくりに考えることができます。
ポイントは、２人のじゃんけんの場合、Aさんが勝ち、Bさんが勝ち、あいこの確率は全て３分の１です。これが３人以上になるとまた変わってくるので気を付けて下さい。実際にさっきの問題であいこが入ったバージョンを見ていきましょう。
例題
A、Bさんがじゃんけんをする。先に3勝した方を優勝とし、優勝した場合ゲームは終了する。この時、Aさんが5回目にちょうど優勝する確率を求めよ。
解答
Aさんが５回目にちょうど優勝するので、Aさんは４回目までに勝ちを２回、負けまたはあいこを２回記録し、５回目で勝てばよい。
Aさんが4回目までちょうど２勝する確率は、反復試行の考え方から、\({{}_4C_2}\times{(\frac{1}{3})^2}\times{(\frac{2}{3})^2}=\frac{4}{27}\)
また、5回目にAさんが勝利する確率は、\(\frac{1}{3}\)。
よって、求める確率は、\({\frac{4}{27}}\times{\frac{1}{3}}=\frac{4}{81}\)
今回の記事はいかがでしたか？最後までご覧いただきありがとうございます。
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