プロフィール
・地方の公立進学校から高校３年間塾に通わず、1浪を経て京大医学部に合格。（歩兵について詳しくはこちら）
・塾や家庭教師における指導数は10を超え、医学部や国公立合格を多数輩出。
・現役医学生ながら「本質的な学び」や「誰にでも再現可能な勉強法」についてブログで発信中。
先生！相加相乗ってよく出てくるけど一体何なの？
簡単に言うと、正の数における不等式評価なんだけど、分かりずらいよね、、
でも入試でもよく出てくる所だからしっかり理解しよう！
目次
相加相乗とは：概念、公式
相加相乗とは、その名の通り２つの数があった時、その和と積の不等式評価です。難しい言葉で説明しても良く分からないと思うので、実際の公式を提示しましょう。もう知ってるよという方で、実践問題に進みたい方は飛ばしても構いません。
相加相乗２次の公式
公式
\({x}\gt{0}\),\({y}\gt{0}\)とする。この時、$${x+y}\geq{2\sqrt{xy}}$$
ただし、等号が成り立つのは、\(x=y\)のとき
相加相乗の利用
一見何の変哲もない不等式に見えますが、この公式によって、２つの正の数の和の最小値を求めることができるというメリットがあります。また、今後学習する三角関数などにも応用することができます。
今度は、公式の証明を見てみよう
相加相乗の２次公式：証明
相加相乗：２つの正の数の不等式評価
証明をする前に１つの事実を紹介します。
準公式
\({x}\gt{0}\),\({y}\gt{0}\)のとき、\({x}\geq{y}\)と\({x^2}\geq{y^2}\)は同値
少々堅苦しく書きましたが、つまり正の数に関しては、元の大小関係も２乗した数の大小関係も変わらないということです。
例えば、\({3}\gt{2}\)ならば\({9}\gt{4}\)。また、\({9}\gt{4}\)ならば\({3}\gt{2}\)です。
相加相乗：実際の証明
問題
\({x}\gt{0}\),\({y}\gt{0}\)とする。この時、\({x+y}\geq{2\sqrt{xy}}\)。
ただし、等号が成り立つのは、\(x=y\)のとき
証明
\({x}\gt{0}\),\({y}\gt{0}\)から\({x+y}\gt{0}\),\({2\sqrt{xy}}\gt{0}\)。
よって、\({(x+y)^2}\geq{(2\sqrt{xy})^2}\)を証明すればよい。
\(L=(x+y)^2-(2\sqrt{xy})^2\)とすると、
\(L=(x-y)^2\)
\({(x-y)^2}\geq{0}\)から、不等式は成り立つ。
また、等号が成り立つのは、\(x=y\)のとき
相加相乗：実践問題
証明は理解できたよ！でもなぜこの公式がそんなに大切なんですか？
多分、実践問題を見ればわかるよ！
相加相乗を使った例題
例題
\({x}\gt{0}\)とする。この時、\(x+\frac{1}{x}\)の最小値を求めよ
解答
\({x}\gt{0}\)から\({\frac{1}{x}}\gt{0}\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係から
\({x+\frac{1}{x}}\geq{2\sqrt{{x}\times{\frac{1}{x}}}}\)
ただし、等号が成り立つのは、\(x=\frac{1}{x}\)すなわち\(x=1\)のとき
よって、最小値は\(x=1\)のとき2
注意点
相加相乗の問題では次の３点を意識しましょう
- 和をとる２数が本当に正の数か
- 「相加平均と相乗平均の大小関係から」を入れ忘れない
- 等号成立条件を入れ忘れない
すごい！こんな簡単に解けちゃうんだ、、便利だね
相加相乗を確実に使いこなせるようにしよう！
相加相乗：補足、まとめ
補足：３次の相加相乗
相加相乗には２次以外にも３次の公式というものもあります。
使う頻度はそれほど多くないのですが、難関大学を受ける方は知っておいても良いと思います。
相加相乗：３次の公式
\({x,y,z}\gt{0}\)とする。このとき
$${\frac{x+y+z}{3}}\geq{\sqrt[3]xyz}$$
ただし、等号成立条件は\(x=y=z\)
まとめ
今回は、相加相乗について解説しました。これは、みなさんの学習で大いに役立つ分野なのでぜひ活用してください！
最後まで読んでいただきありがとうございました。
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