先生！二項定理が良く分かりません…
これは、地味なようで意外と数Ⅲとかでも使うんだよ。大事な定理だからしっかり理解しよう！
目次
n乗の展開について
概念的な話になるので、飛ばしてもらっても構いません！
n乗の展開とは
n乗の展開では、\((1+x)^n\)といった式を実際に展開します。勿論、n個全ての項を書き上げることは不可能なので、数列のように第k項の一般項を考えます。
２乗、３乗の展開は、数１でやった公式を使えば解けますが、n乗といった具体的な数がない場合は二項定理が必須になります。
n乗の展開：Cと重複順列の使い方について
この二項定理を考えるにあたって、数Aで学習した場合の数分野が必要です。一度復習しましょう！
組み合わせと重複順列
異なるn個のものからk個取り出す方法は、\({}_nC_k\)
n個の中に同じものが p 個、q 個、r 個、……ずつあるときの並べ方の総数は、\(\frac{(p+q+r)!}{p!q!r!}\)
こんなの当たり前じゃないですか！
でもこれが後々重要になってくるんだよ
n乗の展開:各項の係数を用いた考え方
\((x+y)^n\)の展開について考えていきます。
二項定理の導入：係数で考える
\((x+y)^n\)は当然のことながら\((x+y)\)をn回かけたものです。
ここで、展開したものの内、\(x^2y^(n-2)\)の係数を考えていきましょう。n回かけた\((x+y)\)の内、2個をxに、(n-2)個をyに費やせばよいです。つまり、係数はxを２個選択する場合の数に等しくなり、\({}_nC_2\)となります。
展開式の係数の決め方
\((x+y)^n\)の展開式において、\(x^ky^(n-k)\)の係数は、\({}_nC_k\)
n乗の展開：二項定理の本質
先ほど、各項の係数の決め方について学習しました。それを踏まえて、各項を足し合わせれば展開式が完成します。
二項定理
$$(x+y)^n=y^n+{}_nC_1x^ky^(n-1)+{}_nC_2x^2y^(n-2)+…+{}_nC_(n-1)x^(n-1)y+x^n$$
もう１問応用問題を見ていこう！！
n乗の展開：多項定理
次に多項式の展開について考えていきます。例えば、\((x+y+z)^n\)などです。
n乗の展開：係数で考える
\((x+y+z)^n\)は当然のことながら\((x+y+z)\)をn回かけたものです。
\(x^py^qz^r\)の係数について考えていきます(\(p+q+r=n\))。n回かけた\((x+y+z)\)の内、p個をxに、q個をyに、r個をzに費やせばよいです。
ここまでは二項定理と考え方は同じです。しかし、ここから少し異なります。
n乗の展開：重複順列の利用
係数は、n個の中から、同じものがそれぞれp個、q個、r個ある時の並べ方の総数より、重複順列の考え方から\(\frac{(p+q+r)!}{p!q!r!}\)となります！
３つ以上の項のn乗の展開では、実際に展開すると大変なので、ほとんどは係数のみを考えます。
まとめ
今回は、多項式のn乗の展開というテーマで、二項定理や多項定理を扱いました！いかがでしたか？
