先生！定積分が混じった関数の求め方がわかりません
あーかなりよくでる応用問題ですね、一緒に見ていきましょう！
目次
定積分で表す関数：導入
まずは、問題のイメージをつけるためにも例題を提示しましょう。ここからの内容は、概念的な話になるので、問題の解き方だけを見たい方は飛ばしてみてください！
例題
$$f(x)=3x^2+\int_0^2 f(x)dx$$
この等式が成り立つとき、f(x)を求めよ
定積分について
定積分。それは、皆さん馴染みのある言葉だと思います。今回の問題で大切なのは、定積分というのは、変数ではなく、単なる定数にすぎないということです。
これを理解しておかないと、今回の問題の糸口が見つかりません。定積分というのは、あくまである関数の指定範囲の面積であって、決して変数ではありません。不定積分では、積分定数という変数はありますが、定積分ではその積分定数は相殺されます。
定積分を含む関数：難点
この問題の難しい部分は、パット見ただけではf(x)の情報が少ないことです。f(x)がどんな整式か、何次関数なのか、はたまた三角関数なのか何も情報がありません。
無理に、f(x)が二次関数、三次関数と仮定して解答を作成してしますと答えはあっていても、理論は破綻してしまいます。
定積分の結果が定数なんて考えもしなかったよ、、、。
定積分で表される関数：考え方
それでは、例題を元に具体的な考え方を説明していきましょう。
例題
$$f(x)=3x^2+\int_0^2f(x)dx$$
この等式が成り立つとき、f(x)を求めよ
ステップ１：定積分を定数とみる
今の段階ではf(x)がどのような関数かはわかりません。それでも、定積分がある一定の値だという事は分かります。
そこで、\(\int_0^2 f(x)dx=a\)とおきます。すると、\(f(x)=3x^2+a\)となります。
ステップ２：定積分をaを用いて表す
先ほどの操作でf(x)をaを用いて表すことができました。それを代入して、定積分を計算してみましょう。
詳しくは後ほど解答で紹介します。
ステップ３：方程式を解いて、aの値を求める
先ほどの計算で、aの１次方程式が導出されるので、それを解けば、aの値を求めることができます。
最終的にはf(x)=の形で答えるようにしましょう。
定積分で表される関数：実際の解答
例題
$$f(x)=3x^2+\int_0^2f(x)dx$$
この等式が成り立つとき、f(x)を求めよ
解答
\(\int_0^2 f(x)dx=a\)とおく。そのとき、\(f(x)=3x^2+a\)となる。
ここでaを計算する。
\(a=\int_0^2(3x^2+a)dx\)
\(a=8+2a\)
\(a=-8\)
よって、\(f(x)=3x^2-8\)
考え方さえ理解できれば、割とシンプルに求めることができます！
典型問題なので、難しいですけど得点源になりますね
今回は、定積分で表される関数について解説しました。これは、みなさんの学習で大いに役立つ分野なのでぜひ活用してください！
最後まで読んでいただきありがとうございました。
