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「1次不等式と整数」完全攻略!大学受験に必要なすべてを解説

プロフィール

歩兵

地方の公立進学校から高校3年間塾に通わず、1浪を経て京大医学部に合格。歩兵について詳しくはこちら

塾や家庭教師における指導数は10を超え、医学部や国公立合格を多数輩出。

・現役医学生ながら「本質的な学び」や「誰にでも再現可能な勉強法」についてブログで発信中。

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生徒

先生!1次不等式に整数条件が付いた問題がわかりません泣

歩兵

あ~そこら辺はよく共テでも出るからね

生徒

なんとなく言っている事は分かるのですが、、

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目次

1次不等式とは何か:基礎から理解する

1次不等式の定義と一般形

1次不等式とは、基本的に変数が1つしかない不等式のことを指します。この形を理解することで、より複雑な不等式問題にも対応できます。今回扱う問題は、唯単に不等式を解く問題ではありません。1次不等式の解を出したときに、条件を満たすよう、係数などを設定します。このような応用問題を扱う前に、まずは不等式の基本及び注意点をおさらいしましょう。

不等式

不等式を解くときには、1次2次関わらずいくつか大事な点があります。

ポイント

・a>0のとき、b<cならばab<ac

・a<0のとき、b<cならばab>ac

・a=0のとき、b,cの大小関係に関わらず、ab=ac

受験とのつながり

1次不等式は、大学受験特に共通テストの頻出事項です。共通テストでは、よく第1問の最後で整数と絡めて出題されます。共通テストは、とにかく時間がないので、ある程度考え方を知っておくと、より効率的に解くことができます。

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1次不等式と整数

歩兵

実際の問題で見ていきましょう

例題

\({7x+5}\lt{6x+7}\),\({2x+3}\geq{x+a}\)を満たす整数xがちょうど5個存在するとき、定数aの値の範囲を求めよ

2つの式をそれぞれ解く

第1式を①、第2式を②とする。①を解くと、\({x}\lt{2}\)、②を解くと\({x}\geq{a-3}\)となる。

2つの解の共通範囲を求め、整数の特定

前で求めた2つの解の共通範囲を求めると、\({a-3}\leq{x}\lt{2}\)。この範囲の中に整数が5個含まれれば良い。範囲から分かるように条件を満たす整数の5個。

範囲の一方の端が2(2は含まない)なので、条件に当てはまるxは-3,-2,-1,0,1の5個。

整数に合わせてaの範囲を絞る

共通範囲の左端は、-3を含み-4を含まなければいい。よって、\({-4}\lt{a-3}\leq{-3}\)。整理すると、\({-1}\lt{a}\leq{0}\)

1次不等式と整数:実際の解答

解答

第1式を①、第2式を②とする。①を解くと、\({x}\lt{2}\)、②を解くと\({x}\geq{a-3}\)となる。共通範囲を求めると、\({a-3}\leq{x}\lt{2}\)。この範囲の中に整数が5個含まれれば良い。条件に当てはまるxは-3,-2,-1,0,1の5個。よって、\({-4}\lt{a-3}\leq{-3}\)。整理すると、\({-1}\lt{a}\leq{0}\)

1次不等式と整数:応用問題の考え方

生徒

こういう風に考えればいいんだね!

歩兵

理解できてよかったね。でもこんな単純に解けない問題もあるんですよ。

生徒

え、どんな問題ですか?

応用例題

この問題の難しい所は、2つの式の両方に定数aが含まれているということです。でも、解き方は先ほどの基本例題と同じなので、一つずつ考えましょう。

2つの式をそれぞれ解く

第1式を①、第2式を②とする。①を解くと、、②を解くととなる。

整数が有限個含まれる条件を考える

整数が5個含まれる条件を考える

解答

まとめ:1次不等式と整数

ポイント

①aが含まれていても関係なく1回解いてみる。
②有限個の整数が含まれる条件を考える

③個数の条件を用いる

④全ての共通範囲を求める

  • この記事を書いた人

歩兵

京大医学部現役生。地方の公立高校から合格。受験期の自らの体験をもとに「再現性がありかつ成績が伸びる勉強法」を発信している。

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